Question

求(x+1)*根号下（2x^2-2x）=2x^2-3x-2，X的实数解

Answer 1

x=3+√13或x=(1±√3)/2
解析：
(x+1)√(2x²-2x)=2x²-3x-2
(x+1)²(2x²-2x)=(2x²-3x-2)²
(x²+2x+1)(2x²-2x)=(2x²-3x-2)²
2x⁴+2x³-2x²-2x=4x⁴-12x³-8x²+12x+9x²+4
2x⁴-14x³+3x²+14x+4=0
(x²-6x-4)(2x²-2x-1)=0
x=(6±√52)/2或x=(2±√12)/4
即，x=3±√13或x=(1±√3)/2
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验根，约束2x²-2x≥0
(1) 2x²-2x-1=0时，2x²-2x=1≥0
(2) x²-6x-4=0时，
x²-x
=(x²-6x)+5x
=4+5x
=4+5(3±√13)
=19±15√13
显然，3-√13不符合。
综上，
x=3+√13或x=(1±√3)/2

追问

还有请问怎么把2x+9x²+2x⁴-14x³+3x²+14x+4=0化成(x²-6x-4)(2x²-2x-1)=0的？

追答

PS：
(1) 这个可以用“待定系数法”
(2) 限于初高中数学题目的特点，此题已默认“可以因式分解”。
(3) 就我本人而言，我已不再关注(1)和(2)，而是直接使用WA来解题。
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PS：
sorry，原解答有疏漏，验根时有错误。
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～最终回答(修改版)～

x=3±√13
解析：
(x+1)√(2x²-2x)=2x²-3x-2
//隐含约束①：2x²-2x≥0
//俗称“根号内约束”
//隐含约束②：(2x²-3x-2)/(x+1)≥0
//俗称“根号外约束”
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(x+1)√(2x²-2x)=2x²-3x-2
(x+1)²(2x²-2x)=(2x²-3x-2)²
(x+1)²(2x²-2x-1+1)=(2x²-3x-2)²
(x+1)²(2x²-2x-1)=(2x²-3x-2)²-(x+1)²
(x+1)²(2x²-2x-1)=(2x²-2x-1)(2x²-4x-3)
(2x²-2x-1)(x²-6x-4)=0
2x²-2x-1=0或x²-6x-4=0
解得，x=1±√3或x=3±√13
约束检查：
(1) 2x²-2x-1=0时②不成立
(2) x²-6x-4=0时①②均成立
综上，原方程的解是：x=3±√13
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PS：
√(2x²-2x-1)=(2x²-3x-2)/(x+1)
y1=√(2x²-2x-1)，
y2=(2x²-3x-2)/(x+1)
附函数图像，以作验证！