裂项相消法的公式？
裂项法表达式：1/[n(n+1)]=(1/n)-[1/(n+1)]
扩展资料：
裂项法，这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。 通项分解（裂项）倍数的关系。
（1）1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]
（2）1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5） n·n!=(n+1)!-n!
（6）1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)]
（7）1/[√n+√（n+1）]=√（n+1）-√n
（8）1/（√n+√n+k）=（1/k）·[√（n+k）-√n]
此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。
注意： 余下的项具有如下的特点
1余下的项前后的位置前后是对称的。
2余下的项前后的正负性是相反的。
易错点：注意检查裂项后式子和原式是否相等，典型错误如：1/(3×5)=1/3-1/5（等式右边应当除以2）
附：数列求和的常用方法：
公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。(关键是找数列的通项结构)
1、分组法求数列的和：如an=2n+3n
2、错位相减法求和：如an=n·2^n
3、裂项法求和：如an=1/n(n+1)
4、倒序相加法求和：如an= n
5、求数列的最大、最小项的方法：
① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
② (an>0) 如an=
③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= an^2+bn+c(a≠0)
6、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：
(1)当 a1>0,d<0时，满足{an}的项数m使得Sm取最大值.
(2)当 a1<0,d>0时，满足{an}的项数m使得Sm取最小值.
7、对于1/n+1/(n+1)+1/(n+2)……+1/(n+n)的算式同样适用。
参考资料：百度百科-裂项法
1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
n·n!=(n+1)!-n!
例子：
扩展资料：
裂项法，这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。 通项分解（裂项）倍数的关系。
此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。
注意： 余下的项具有如下的特点
1余下的项前后的位置前后是对称的。
2余下的项前后的正负性是相反的。
易错点：注意检查裂项后式子和原式是否相等，典型错误如：1/(3×5)=1/3-1/5（等式右边应当除以2）
附：数列求和的常用方法：
公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。(关键是找数列的通项结构)
1、分组法求数列的和：如an=2n+3n
2、错位相减法求和：如an=n·2^n
3、裂项法求和：如an=1/n(n+1)
4、倒序相加法求和：如an= n
5、求数列的最大、最小项的方法：
① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
② an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= an^2+bn+c(a≠0)
6、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：
(1)当 a1>0,d<0时，满足{an}的项数m使得Sm取最大值.
(2)当 a1<0,d>0时，满足{an}的项数m使得Sm取最小值.
7、对于1/n+1/(n+1)+1/(n+2)……+1/(n+n)的算式同样适用。
参考资料：百度百科-裂项法
1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
扩展资料
裂项相消就是根据数列通项公式的特点，把通项公式写成前后能够消去的情势，裂项后消去中间的部份，到达求和目的1种数列求和方法。先根据通项公式找裂项公式，然后逐项写开，消去。
举个最简单的例子，某1数列的通项公式an=1/[n(n+1)]，求其前n项和Sn。其实视察可知an=1/[n(n+1)]=1/n⑴/(n+1)，实则上1项的减数等于下1项的被减数，所以二者相加就抵消掉了。因此Sn就是首项的被减数减去第n项的减数，即Sn=1/2⑴/(n+1)。这就是所谓的裂项相消法。
参考资料裂项相消法_百度百科
基本公式为：
常用公式：
（1）1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]
（2）1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5） n·n!=(n+1)!-n!
（6）1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)]
（7）1/（√n+√n+1）=√（n+1）-√n
（8）1/（√n+√n+k）=（1/k）·[√（n+k）-√n]
裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。 通项分解（裂项）倍数的关系。
举例：
【分数裂项基本型】求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.
解：an=1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]（裂项）
则 Sn=1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)…+(1/n）- [1/(n+1)]（裂项求和）
= 1-1/(n+1)
= n/(n+1)
1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
n·n!=(n+1)!-n!
例子：
具体做法：
裂项相消就是根据数列通项公式的特点，把通项公式写成前后能够消去的情势，裂项后消去中间的部份，到达求和目的1种数列求和方法。先根据通项公式找裂项公式，然后逐项写开，消去。
举个最简单的例子，某1数列的通项公式an=1/[n(n+1)]，求其前n项和Sn。其实视察可知an=1/[n(n+1)]=1/n⑴/(n+1)，实则上1项的减数等于下1项的被减数，所以二者相加就抵消掉了。因此Sn就是首项的被减数减去第n项的减数，即Sn=1/2⑴/(n+1)。这就是所谓的裂项相消法。
另外还有很多例子，比如分母是连续奇数或连续偶数相乘，或是阶乘，份子是个常数（常常是1）的，都可以采取裂项相消法求解Sn。裂项相消法能到达化繁为简的效果。求Sn前先视察通项公式，如果符合这样特点的就能够用裂项相消法了。
|
广告 您可能关注的内容 |
