Question

计算∫∫xdydz,其中∑是柱面柱面x^2+y^2=1被平面z=0及z=3所截得的在第一卦限

看了您解答的图片很有用，但是可以问一下为什么下面的积分和1/4圆面积有关呢，不知只要在矩形上积分就可以了吗

Answer 1

是的，只要在矩形区域上积分就可以了。接下来在求解这个二重积分的过程中，首先要求出内层积分，也就是粉红色波浪线划出的那个定积分。至于求这个定积分，你可以：

查找∫√(1-x^2)dx的积分公式得到原函数，然后代入上下限求解

但是稍显麻烦，注意到∫<0,1>√(1-x^2)dx恰好表示上半圆的面积，所以直接根据几何意义心算结果即可，也就是原图中采用的方法。

至于为什么？下面示意图可以帮助你理解：