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将方程（x+1)²+(y-2)²＝16改写成参数形式：x=-1+4cost；y=2+4sint；(0≦t≦2π)
因此①。u=3x+4=3(-1+4cost)+4=1+12cost; ∴当t=π时获得umin=1-12=-11;
当t=0时获得umax=1+12=13;
②。u=x²+y²=(-1+4cost)²+(2+4sint)²=(1-8cost+16cos²t)+(4+16sint+16sin²t)
=21-8(cost-2sint)=21-8(cost-tanφsint)=(21/cosφ)(costcosφ-sintsinφ)
=21(√5)cos(t+arctan2);【其中tanφ=2；cosφ=1/√5；sinφ=2/√5;】
当t=-arctan2时获得umax=21√5；当t=π-arctan2时获得umin=-21√5；
因此①。u=3x+4=3(-1+4cost)+4=1+12cost; ∴当t=π时获得umin=1-12=-11;
当t=0时获得umax=1+12=13;
②。u=x²+y²=(-1+4cost)²+(2+4sint)²=(1-8cost+16cos²t)+(4+16sint+16sin²t)
=21-8(cost-2sint)=21-8(cost-tanφsint)=(21/cosφ)(costcosφ-sintsinφ)
=21(√5)cos(t+arctan2);【其中tanφ=2；cosφ=1/√5；sinφ=2/√5;】
当t=-arctan2时获得umax=21√5；当t=π-arctan2时获得umin=-21√5；
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上海华然企业咨询
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分享一种解法。设x=-1+4cosθ，y=2+4sinθ。
∴3x+4y=5+12cosθ+16sinθ=5+20sin(θ+α)，其中α=arctan(3/4)。∴其最大值为25，最小值为-15。
x²+y²=21-8cosθ+16sinθ=21-(8√5)sin(θ+α)，其中α=arctan(-1/2)。∴其最大值为21+8√5，最小值为21-8√5。
供参考。
∴3x+4y=5+12cosθ+16sinθ=5+20sin(θ+α)，其中α=arctan(3/4)。∴其最大值为25，最小值为-15。
x²+y²=21-8cosθ+16sinθ=21-(8√5)sin(θ+α)，其中α=arctan(-1/2)。∴其最大值为21+8√5，最小值为21-8√5。
供参考。
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打扰一下，arctan是什么意思呢
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正切函数tanα=x是求∠α的正切值。arctanx是知道x的值求∠α的值，即反正切函数。
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数形结合法：
3x+4最小值= (19-3√159)/10，最大值= (19+3√159)/10；
x²+y²最小值 = 21-8√5，最大值 = 21+8√5
3x+4最小值= (19-3√159)/10，最大值= (19+3√159)/10；
x²+y²最小值 = 21-8√5，最大值 = 21+8√5
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（x+1）²+（y-2）²＝16=4²
x最大是 x+1=4 x=3
3x+4最大是 3x3+4=13
x²+y²最大是 16
x最大是 x+1=4 x=3
3x+4最大是 3x3+4=13
x²+y²最大是 16
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