Question

【高数】高阶无穷小的一道题我这样做为什么不对

“欲让上式结果为非零常数，只需分子分母齐次，因为分子是一次，所以分母也为一次，所以k-2=1”这样子做为什么不正确？

Answer 1

无穷小的阶数可以通过极限来做。

Answer 2

答：k阶无穷小的定义：当x→1时，x-1是无穷小，如果a是比(1-x)的k阶无穷小，那么，
lim(x→1) a/(x-1)^k=常数; 根据定义，a=(x^3-3x+2),直接代入式中就可以了，然后求k。

lim(x→1) （x^3-2x+3)/(x-1)^k=lim(x→1) （x^3-1-3x+2+1)/(x-1)^(k-1)
=lim(x→1) [(x^3-1)-3(x-1)]/(x-1)^k=lim(x→1) (x+2)/(x-1)^(k-2)
到此时，分母和分子不可约，所以令k=2,
原式=lim(x→1) (x+2)/(x-1)^(2-2)=lim(x→1) (x+2)=3。
据此得知：（x^3-2x+3)是比(x-1)的2阶无穷小。
你的问题出现在出在没有及时令k-2=0, 当分式不可约时，就会出现+/-无穷大。必须终止这种情况发生。你可能是思路没有集中。多做几道题就好了。

Answer 3

不正确，应该是k-2=0
分子=x+1=1，而分母也应该为常数才可以。分母如果是1次，那么极限=无穷大=1/0型

Answer 4

最后一步，若分母与分子齐次，则整式在x趋于1时的极限为无穷，并不符合题意。应该是分母为零次式，极限为常数。（个人愚见）

Answer 5

错，应该是 k-2=0，也就是 k=2。