Question

高一数学 必修一

设f(x)=log[(1-ax)/(x-1)]为奇函数，a为常数

（1）求a的值
（2）证明f(x)在（1，+∞）内单调递增
（3）若对于[3,4]上的每一个x的值，不等式f(x)>(1/2)^x +m恒成立，求实数m的取值范围

Answer 1

解：（1）由f(x)=log[(1-ax)/(x-1)]为奇函数
所以 有f(-x)=log[(1+ax)/(-x-1)]=-f(x)=-log[(1-ax)/(x-1)]
即log[(1+ax)/(-x-1)]=-log[(1-ax)/(x-1)]=log[(x-1)/(1-ax)]
所以(1+ax)/(-x-1)=(x-1)/(1-ax) 所以a=-1
(2)由（1）知 f(x)=log[(1+x)/(x-1)]
任取 1<x1<x2
则 f(x2)-f(x1)=log[(1+x2)/(x2-1)]-log[(1+x1)/(x1-1)]=log(1+x2)(x1-1)/(x2-1)(1+x1)
因为 x2>x1>1
所以分子 0<x1x2-1+x1-x2 <分母x1x2-1+x2-x1
所以0< (1+x2)(x1-1)/(x2-1)(1+x1) <1
即log(1+x2)(x1-1)/(x2-1)(1+x1) <0
所以f(x2)<f(x1)
所以 f(x)在（1，+∞）内单调递减 你 题有问题
（3）由（2）知 当对于[3,4]上的每一个x的值 ，有f(x)最小值为f(4)=log5/3
而 (1/2)^x 的最大值为（1/2）^3=1/8
所以 m<log(5/3)-1/8

Answer 2

解：（1）由f(x)=log[(1-ax)/(x-1)]为奇函数
所以 有f(-x)=log[(1+ax)/(-x-1)]=-f(x)=-log[(1-ax)/(x-1)]
即log[(1+ax)/(-x-1)]=-log[(1-ax)/(x-1)]=log[(x-1)/(1-ax)]
所以(1+ax)/(-x-1)=(x-1)/(1-ax) 所以a=-1
(2)由（1）知 f(x)=log[(1+x)/(x-1)]
任取 1<x1<x2
则 f(x2)-f(x1)=log[(1+x2)/(x2-1)]-log[(1+x1)/(x1-1)]=log(1+x2)(x1-1)/(x2-1)(1+x1)
因为 x2>x1>1
所以分子 0<x1x2-1+x1-x2 <分母x1x2-1+x2-x1
所以0< (1+x2)(x1-1)/(x2-1)(1+x1) <1
即log(1+x2)(x1-1)/(x2-1)(1+x1) <0
所以f(x2)<f(x1)
所以 f(x)在（1，+∞）内单调递减 你 题有问题
（3）由（2）知 当对于[3,4]上的每一个x的值 ，有f(x)最小值为f(4)=log5/3
而 (1/2)^x 的最大值为（1/2）^3=1/8
所以 m<log(5/3)-1/8
希望能帮到你。

Answer 3

A=3