Question

求解一道数学椭圆题

Answer 1

已知椭圆的焦点为(-2,0)和(2,0)，不妨设椭圆的标准方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1（a＞b＞0）
则：a²-b²=c²=4……………………………………①
已知椭圆经过点(5/2,-3/2)，代入得到：
(25/4a²)+(9/4b²)=1………………………………②

联立①②得：a²=10，b²=6
所以，椭圆标准方程为：(x²/10)+(y²/6)=1
(2)过点F2(2,0)，倾斜角为π/3的直线为y=√3(x-2)
由椭圆方程有：3x²+5y²-30=0，联立直线与椭圆方程有：
3x²+15(x-2)²-30=0 ==> 3x²+15x²-60x+60-30=0
==> 18x²-60x+30=0
==> 3x²-10x+5=0
==> x1+x2=10/3，x1x2=5/3
那么，(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=(10/3)²-(20/3)=40/9
(y1-y2)²=[√3(x1-2)-√3(x2-2)]²=3(x1-x2)²=120/9
所以，AB=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]=√(160/9)=(4/3)√10