Question

定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2的奇函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=2^x/(4^x+1)

(1)求f(x)在[-1,1]上的解析式
(2)证明f(x)在(0,1)上是减函数
(3)当λ取何值时,不等式f(x)>λ在R上有解

Answer 1

（1） 令f(x)=-f(-x) 得f(x)=-2^-x/(4^-x+1) x∈(-1,0) 所以
f(x)在[-1,1]上的解析式 x∈(0,1)时，f(x)=2^x/(4^x+1) x∈(-1,0) f(x)=-2^-x/(4^-x+1)
（2）f(x)=2^x/(4^x+1)=1/（2^x+1/2^x) 因为 当x∈(0,1)时 2^x∈(1,2) 所以2^x+1/2^x为增 所以 f(x)=1/（2^x+1/2^x) 为减
（3）当λ取何值时,不等式f(x)>λ在R上有解 即求f(x)的最小值 又因为它在R上为周期函数
所以只要求它在 （-1.1）上的最小值 又因为f(x)的最小值1/2 所以 当λ取1/2时不等式f(x)>1/2在R上有解

Answer 2

解：（1）∵f（x）是x∈R上的奇函数，
∴f（0）=0．
又∵2为最小正周期，
∴f（1）=f（1-2）=f（-1）=-f（1）=0．
设x∈（-1，0），则-x∈（0，1），f(-x)=
2-x4-x+1=
2x4x+1=-f(x)，
∴f(x)=-
2x4x+1，
∴f(x)=
-
2x4x+1，x∈(-1，0)0，x∈{-1，0，1}2x4x+1，x∈(0，1).

（2）设0＜x1＜x2＜1，
f（x1）-f（x2）=(2x1-2x2)+(2x1+2x2-2x2+2x1)(4x1+1)(4x2+1)=(2x1-2x2)(1-2x1+x2)(4x1+1)(4x2+1)＞0，
∴f（x）在（0，1）上为减函数．