Question

设A为n阶矩阵,满足A2=A,设A为n阶矩阵,满足A2=A,试证:r(A)+r(A-I)=n。能用大学的线性代数知识来证明吗？

Answer 1

（结论应该是rank(a)+rank(a-i)=n，否则是错的。例：取a=i，则a^2=i=a，但rank(a)+rank(a+i)=rank(i)+rank(2i)=n+n=2n）
证法一：
令u={x∈r^n|ax=0}为a的解集，则dim(u)=n-rank(a)；
令v={x∈r^n|ax=x}={x∈r^n|(a-i)x=0}为(a-i)的解集，则dim(v)=n-rank(a-i)。
两式相加得dim(u)+dim(v)=2n-[rank(a)+rank(a-i)]。
声明：r^n=u⊕v。
证明：(1)u∩v=0：x∈u∩v则ax=0且ax=x，所以x=0；
(2)u+v=r^n：对任意x∈r^n，定义x1=x-ax,x1=ax，则x=x1+x2；且由a(ax)=(a^2)x=ax易知ax1=ax-ax=0,ax2=ax=x2，所以x1∈u,x2∈v。
所以dim(u)+dim(v)=n。代入上式得rank(a)+rank(a-i)=n。
证法二：
由a^2=a，a有化零多项式f(x)=x^2-x=x(x-1)。a的最小多项式p(x)必整除f(x)，且f(x)无重根，所以p(x)无重根，所以a可对角化。a的特征值都是p(x)的根，所以都是f(x)的根，只能是0或1。所以a相似于对角元全为0或1的对角阵d。
a相似于d，所以rank(a)等于rank(d)，等于d中1的个数；
a-i相似于d-i，所以rank(a-i)等于rank(a-i)，等于d中0的个数。
所以rank(a)+rank(a-i)等于d的阶，即n。