Question

泰勒级数在什么情况下一定收敛于f(x)

Answer 1

这个不对吧，泰勒级数在收敛域内一定收敛于f(x)
（要不干嘛叫收敛域呢，呵呵）。应该是如果泰勒级数在点x=x0的某邻域收敛，但它却不一定收敛于f(x)
。理论上说，如果f(x)的泰勒展开式中的余项R(x)满足当n趋于无穷时limR(x)=0，那么可以确定收敛于f(x)。但实际上证明limR(x)=0太麻烦，通常判断泰勒级数在什么条件下收敛于f(x)也就是求幂级数的收敛域，可以利用幂级数的收敛半径很方便地求得。

Answer 2

常用的充分条件是这样的：
如果函数
f(x)
可以延拓为复变函数
f(z)
(即
x
可以是复数,
记为
z
以示区别)，并且
f(z)
在以
z0
为圆心，半径为
R
的圆内解析（复可导），则
f(z)
在
z0
处的泰勒级数在该圆内处处收敛到
f(z)。
这个定理不仅说明了泰勒级数的收敛性、收敛到的值，还给出了判定收敛半径的方法。
对于初等函数来说，这个定理是非常易用的。当然前提得懂复变函数的基础知识，比如解析是什么意思，如何判定奇点等。
...再唠叨两句吧
举例来说，1/(9-x^2)
在
x=0
处展开。1/(9-z^2)
在
z=3,
-3
处没定义（奇点），其余处处可导，故在半径
R=3
的圆内解析，展开的Taylor级数在其内收敛于f(x)