Question

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如图

Answer 1

设直线L方程是y-1=k(x-2),即y=kx+1-2k
代入椭圆方程x^2/2+(kx+1-2k)^2=1
x^2/2+k^2x^2+1+4k^2+2kx-4k^2x-4k=1
(1/2+k^2)x^2+(2k-4k^2)x+4k^2-4k=0
x1+x2=(4k^2-2k)/(1/2+k^2)
y1+y2=k(x1+x2)+2-4k=k(4k^2-2k)/(1/2+k^2)+2-4k=(4k^3-2k^2+1-2k+2k^2-4k^3)/(1/2+k^2)=(1-2k)/(1/2+k^2)
设中点坐标是（x,y)
即有x=(x1+x2)/2=(2k^2-k)/(1/2+k^2)=-2k(1-2k)/(1+2k^2), y=(y1+y2)=(1/2-k)/(1/2+k^2)=(1-2k)/(1+2k^2)
即x=-2ky,k=x/(-2y),代入上面y式中：y=(1+x/y)/(1+2x^2/4y^2)
y(1+x^2/(2y^2))=1+x/y
y+x^2/(2y)=1+x/y
y^2+x^2/2=y+x
即中点方程是x^2/2+y^2-x-y=0