Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=1/2(1)判断{1/Sn}, 、{An}是否是等差数列，

Answer 1

an+2SnS(n-1)=0(n≥2)
所以Sn-S(n-1)=-2SnS(n-1)
讨论两边能不能直接除以SnS(n-1)：
假若某个Sn=0,则an=Sn-S(n-1)=-S(n-1)，则0=an+2SnS(n-1)=-S(n-1)+0
所以S(n-1)=0，一步步递推能推出S1=0,这与已知条件不符，所以每一个Sn都不等于0
所以两边同时除以SnS(n-1)，得到1/Sn-1/S(n-1)=2，1/S1=1/a1=2
所以{1/Sn}是等差数列
算出其通项为1/Sn=2n
然后Sn=1/(2n),an=Sn-S(n-1)=1/(2n)-1/(2n-2)
所以{An}不是等差数列