Question

高二 数学证明问题

Answer 1

本题证法非常多!最常用的最通过立方公作变换证明.
下面举两个较特殊的证法：
(1)反证法
假没P+9>2,那么P>2-q,
∴P^3>(2-q)^3=8-12q+6q^2-q^3
以p^3+q^3=2代入上式,得
6q^2-12q+6<0
→6(q-1)^2<0.
由此得出矛盾.
∴P+q≤2.
(2)构造法
构造向量
m=(P^(3/2),q^(3/2)),n=(p^(1/2),q^(1/2)),则
p^2+q^2
=P^(3/2)*p^(1/2)+q^(3/2)*q^(1/2)
=|mn|
≤|m||n|
=根(P^3+q^3)*根(P+q)
=根2*根(P+q)
又(p+q)^2≤2(p^2+q^2)
∴(P+q)^2/2≤P^2+q^2≤根2*根(P+q)
∴(P+q)^2/2≤根2*根(P+q)
∴(p+q)^4≤8(p+q)
即(P+q)^3≤8
∴P+q≤2.