Question

若非零函数 对任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)*f(b),且x<0时，f(x)>1，如何证明f(x)=c^x（c为任意常数）

Answer 1

f(a+b)=f(a)*f(b)，这个条件是常见的同构定义，在集合论和近世代数中经常出现的一种关系。若仅限定非零函数条件并不能推出结论，必须增强条件为连续或可导，可以按照导数定义来推……

Answer 2

令a=b=0，则f(0)=f(0)^，f(0)=1或0
若f(0)=0，则f(x)=f(x+0)=f(x)*f(0)=0，所以f(0)=1
f(0)=f(x-x)=f(x)*f(-x)=1，所以f(x)=1/f(-x)
x>0时，-x<0，f(-x)>1，所以f(x)>0
所以x>0，f(x)>0，

x<0，f(x)>1

x=0，f(x)=1f(x)>0，
所以f(x)>0，即f(x)>0。

YTC，你把周末练上的题目抄错了吧！