Question

求下列微分方程的解

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Answer 1

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Answer 2

由xy'-2y=0得
dy/y=2dx/x,
lny=2lnx+lnc,
y=cx^2,
设y=x^2c(x)是xy'-2y=x^5①的解，
则y'=2xc(x)+x^2c'(x),
都代入①，得c'(x)=x^2,
c(x)=(1/3)x^3+c,
所以y=(1/3)x^5+cx^2,
y(1)=1/3+c=1,c=2/3,
所以y=(1/3)x^5+(2/3)x^2,为所求。

Answer 3

令y/x=t, y=t*x,dy/dx=t+(dt/dx)*x
原式： t+(dt/dx)*x+t=1, 于是：dt/(1-2t)=(1/x)*dx，两边积分得出：(-1/2)ln(1-2t)=lnx +c1.
化简：(-1/2)ln(-2t)=lnx +c1. 带入y=x*t,得：(-1/2)ln[-2(y/x)]=lnx +c2.
化简：ln[-2(y/x)]=（-2）lnx +c3，用e的指数函数去掉ln,得：-2(y/x)]=x^(-2）+c3
化简：y=(-1/2x) +c.
二：对应齐次方程是y'+y=0

其通解是y=Ce^(-x),C是任意常数

设方程的一个特解是y*=axe^(-x),代入方程

ae^(-x)-axe^(-x)+axe^(-x)=e^(-x)

ae^(-x)=e^(-x)

所以a=1

所以原微分方程的通解是：y=Ce^(-x)+xe^(-x)。
三：xy'+y=x^2+3x+2
y'+y/x=x+3+2/x
先求对应的齐次方程的通解.
dy/dx+y/x=0
dy/y=-dx/x
ln|y|=-ln|x|-lnC2=-ln|C2x|
|y|=1/(|C2x|)
y=C1/x
用常数变易法,把C1换成u,即令
y=u/x ①
那么dy/dx=u '/x-u/x²
代入所给非齐次方程,得
u '/x-u/x²+u/x²=x+3+2/x
u '=x²+3x+2
两端积分,得u=x³/3+3x²/2+2x+C0
把上式代入①式,得y=x²/3+3x/2+2+C
最后一个带入x=1,很简单的，相信你自己。