Question

已知：抛物线与x轴交于A（-2，0）、B（4，0），与y轴交于C（0，4）．（1...

已知：抛物线与x轴交于A（-2，0）、B（4，0），与y轴交于C（0，4）． （1）求抛物线顶点D的坐标； （2）设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长度？

Answer 1

解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-4），
∵C点坐标为（0，4），
∴a=-12，（1分）
∴解析式为y=-12x2+x+4，
顶点D坐标为（1，92）；（2分）
（2）直线CD解析式为y=kx+b．
则，b=4k+b=92，
∴b=4k=12，
∴直线CD解析式为y=12x+4，（3分）
∴E（-8，0），F（4，6），
若抛物线向下移m个单位，其解析式y=-12x2+x+4-m（m＞0），
由y=-12x2+x+4-my=12x+4消去y，得-12x2+12x-m=0，
∵△=14-2m≥0，
∴0＜m≤18，
∴向下最多可平移18个单位．（5分）
若抛物线向上移m个单位，其解析式y=-12x2+x+4+m（m＞0），
方法一：当x=-8时，y=-36+m，
当x=4时，y=m，
要使抛物线与EF有公共点，则-36+m≤0或m≤6，
∴0＜m≤36；（7分）
方法二：当平移后的抛物线过点E（-8，0）时，解得m=36，
当平移后的抛物线过点F（4，6）时，m=6，
由题意知：抛物线向上最多可以平移36个单位长度，（7分）
综上，要使抛物线与EF有公共点，向上最多可平移36个单位，向下最多可平移18个单位．