Question

已知抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点

已知抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点
C（0，8）．抛物线顶点为D，直线CD交x轴于点E，过点B做x轴的垂线交直线CD于点F。
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）求直线CD的解析式
（3）在线段BF上是否存在点P，使得P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离。如果存在，求出点P坐标。

附：和网上的题目有改动。第三问要求具体步骤。好的加分。绝对信誉

Answer 1

解：（1）由已知设该抛物线的解析式为：y = a（x+2）（x-4），将x=0，y=8代入得a= - 1
则： y = - （x² - 2x - 8）
= - x²+2x+8
= - （x - 1）² +9
故所求解析式为：y = - x²+2x+8 ； D（1,9）
（2）设直线CD的解析式为：y = k x + b，分别将 x = 0，y = 8；x = 1，y = 9代入得
k = 1 ，b = 8.
故所求解析式为：y = x + 8
(3)设直线BF（x = 4）上存在符合条件的点P，过点P垂直于直线CD的直线为 y = - x + n。
易得直线y = - x + n与直线BF的交点为P（4，- 4+n），与直线CD的交点为（- 4 + n/2, 4+n/2）
由点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离得：
（8 - n/2）² + （n/2 - 8）² = 4² + （- 4 + n）²

整理得： n ² + 16 n - 192 = 0
解得：n = 8 或n = - 24
故存在符合条件的点P，其坐标为：（4,4） 或 （4，- 28）