Question

已知抛物线Y=ax²+bx+c与x轴交于A.B两点,与y轴交于点C,其...

已知抛物线Y=ax²+bx+c与x轴交于A.B两点,与y轴交于点C,其中点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上, 线段OB.OC的长（OB＜OC）是方程X²-10x+16=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线x=﹣2 （1）求A.B.C三点的坐标 （2）求此抛物线的表达式 （3）连接AC.BC 若点E是线段AB上的一个动点（与点A,B不重合）过E作EF∥AC交BC于点F,连接CE,设AE的长为m,△CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围.

Answer 1

(1)因为抛物线Y=ax²+bx+c与x轴交于A.B两点,与y轴交于点C,其中点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上设B（x1,0）C(0,c),A(x2,0)OB=x1,OC=c又因为线段OB.OC的长（OB＜OC）是方程X²-10x+16=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线x=﹣2所以：OB+OC=10；OB*OC=16；-b/2a=-2所以：x1+x2=-b/a=-4解得:x1=2,c=8,x2=-6或者x1=8,c=2,x2=-12得A(-6,0),B(2,0),C(0,8)或者A(-12,0),B(8,0),C(0,2)(2)由（1）中得A,B,C,三点都在抛物线上,将三点带入得：第一种:0=36a-6b+8,0=4a+2b+8,由两式得a=-4/5,.b=-16/5,c=8得方程：y=-4/5x^2-16/5x+8第二种：144a-12b+2=0,64a+8b+2=0,解得a=-1/48,b=-1/12.c=2得方程：y=-1/48x^2-1/12x+2(3)设：F（x3,y3）E(x1+m,0)第一种S
△CEF=S
△CAE-S
△FAE得s=1/2AE*c
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1/2AE*y3=1/2m*c
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1/2m*y3由题意得：向量EF平行向量BC向量EF=（x3-x1-m,y3）,向量BC=（-x1,c）(x3-x1-m)/-x1=y3/c所以：y3=-c(x3-x1-m)/x1带入s=1/2m*c
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1/2m*y3自己算有两种解