Question

设数列xn和yn满足limxn·yn=0,则当n趋向无穷时,yn必为无穷小的充分条件是

A.xn是无穷小量，B.1/xn是无穷小量，C.xn有界，D.xn单调递减 （为什么不能选C啊，有界乘以无穷小=无穷小不是对了么？）

Answer 1

条件是limxnyn=0
n趋向无穷
。c选项错在xn并不是有界的。
设|xn|上确界为sup|xn|。
lim
xnyn
<=(小于等于)lim|xn|yn
<=lim
sup|xn|yn
=
sup|xn|*lim
yn
=
sup|xn|*0=0。
同理：
lim
xnyn
>=(大于等于)lim
-|xn|yn
>=lim
-sup|xn|yn
=
0。
即
0<=lim
xnyn<=0。
limxnyn=0
n趋向无穷。
扩展资料：
通项公式
an=a1+(n-1)d
其中，n=1时
a1=S1；n≥2时
an=Sn-Sn-1。
an=kn+b(k,b为常数)
推导过程：an=dn+a1-d
令d=k，a1-d=b
则得到an=kn+b。
等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项（arithmetic
mean）。有关系：A=(a+b)÷2。
前n项和
倒序相加法推导前n项和公式：
Sn=a1+a2+a3 +·····+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]
①
Sn=an+an-1+an-2+······+a1=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]
②
由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)（n个）=n(a1+an)
∴Sn=n(a1+an)÷2。
等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：
Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2
Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)
亦可得
a1=2sn÷n-an
an=2sn÷n-a1
有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1
参考资料来源：搜狗百科-数列

Answer 2

选项c错
若xn为无穷小，则xn有界，则yn不一定为无穷小
反例：xn=1/n有界，yn=1非无穷小，lim[n→∞]
xnyn=0成立
选项d对
因为1/xn为无穷小，且lim[n→∞]
xnyn=lim[n→∞]
yn/(1/xn)=0
所以yn是1/xn的高阶无穷小，即yn必为无穷小

Answer 3

简单分析一下即可，答案如图所示