Question

已知函数f（x）=x2+ax-lnx，a∈R．（1）若函数f（x）在[1，2]上...

已知函数f（x）=x2+ax-lnx，a∈R． （1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围； （2）令g（x）=f（x）-x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由； （3）当x∈（0，e]时，证明：e2x2-52x＞(x+1)lnx．

Answer 1

解：（1）f′(x)=2x+a-1x=2x2+ax-1x≤0在[1，2]上恒成立，
令h（x）=2x2+ax-1，有h(1)≤0h(2)≤0得a≤-1a≤-72，
得a≤-72
（2）假设存在实数a，使g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，g′(x)=a-1x=ax-1x
①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae-1=3，a=4e（舍去），
②当0＜1a＜e时，g（x）在(0，1a)上单调递减，在(1a，e]上单调递增
∴g(x)min=g(1a)=1+lna=3，a=e2，满足条件．
③当1a≥e时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae-1=3，a=4e（舍去），
综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．
（3）令F（x）=e2x-lnx，由（2）知，F（x）min=3．
令ϕ(x)=lnxx+52，ϕ′(x)=1-lnxx2，
当0＜x≤e时，ϕ'（x）≥0，φ（x）在（0，e]上单调递增
∴ϕ(x)max=ϕ(e)=1e+52＜12+52=3
∴e2x-lnx＞lnxx+52，即e2x2-52x＞（x+1）lnx．