Question

设f(x)在[a,b]上有定义,且对于任给的M>0,存在[a,b]上可积函数g(x),使得|f(x)-g(x)|<M,x属于[a,b]？

设f(x)在[a,b]上有定义,且对于任给的M>0,存在[a,b]上可积函数g(x),使得|f(x)-g(x)|<M,x属于[a,b].
证明：f在[a,b]上可积

Answer 1

f(x)在[a,b]上有界，是f(x)在[a,b]上可积的条件。

1、例如这个函数

f（x）=1（x是有理数）；0（x是无理数）

很明显，这个函数是个有界函数，函数值只有1和0两个值。

而这个函数在任何区间内都有无数个间断点、所以在任何区间内都不可积。

所以有界是可积的不充分条件。

2、例如这个函数

f（x）=1（x＜0）；0（x≥0）

这个函数不是连续函数，有一个跳跃间断点。但是这个函数在包含0的区间内是可积的。

所以连续不是可积的必要条件。

扩展资料

对于一元函数有，可微<=>可导=>连续=>可积

对于多元函数，不存在可导的概念，只有偏导数存在。函数在某处可微等价于在该处沿所有方向的方向导数存在，仅仅保证偏导数存

在不一定可微，因此有：可微=>偏导数存在=>连续=>可积。

可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导；

可微与连续的关系：可微与可导是一样的；

可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积；

可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导。

Answer 2