设f(x)在[a,b]上有定义,且对于任给的M>0,存在[a,b]上可积函数g(x),使得|f(x)-g(x)|<M,x属于[a,b]?
设f(x)在[a,b]上有定义,且对于任给的M>0,存在[a,b]上可积函数g(x),使得|f(x)-g(x)|<M,x属于[a,b].证明:f在[a,b]上可积...
设f(x)在[a,b]上有定义,且对于任给的M>0,存在[a,b]上可积函数g(x),使得|f(x)-g(x)|<M,x属于[a,b].
证明:f在[a,b]上可积 展开
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f(x)在[a,b]上有界,是f(x)在[a,b]上可积的条件。
1、例如这个函数
f(x)=1(x是有理数);0(x是无理数)
很明显,这个函数是个有界函数,函数值只有1和0两个值。
而这个函数在任何区间内都有无数个间断点、所以在任何区间内都不可积。
所以有界是可积的不充分条件。
2、例如这个函数
f(x)=1(x<0);0(x≥0)
这个函数不是连续函数,有一个跳跃间断点。但是这个函数在包含0的区间内是可积的。
所以连续不是可积的必要条件。
扩展资料
对于一元函数有,可微<=>可导=>连续=>可积
对于多元函数,不存在可导的概念,只有偏导数存在。函数在某处可微等价于在该处沿所有方向的方向导数存在,仅仅保证偏导数存
在不一定可微,因此有:可微=>偏导数存在=>连续=>可积。
可导与连续的关系:可导必连续,连续不一定可导;
可微与连续的关系:可微与可导是一样的;
可积与连续的关系:可积不一定连续,连续必定可积;
可导与可积的关系:可导一般可积,可积推不出一定可导。
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