微积分题求解设f(x)可微,f(0)=0,f'(0)=1,F(x)=∫tf(x&...

微积分题求解设f(x)可微,f(0)=0,f'(0)=1,F(x)=∫tf(x²-t²)dt(注:积分下限是0,上限是x)这道题答案上写等量代换x&s... 微积分题求解 设f(x)可微,f(0)=0,f'(0)=1,F(x)=∫tf(x²-t²)dt(注:积分下限是0,上限是x) 这道题答案上写等量代换 x²-t²=u,然后直接就得出 F(x)=½∫f(u)du(积分下限是0,上限是x²). 请问这一步是怎么得到的,麻烦告知具体的解题过程, 展开
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蛮灿真祺
2020-05-31 · TA获得超过3906个赞
知道大有可为答主
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变量代换:x²-t²=u
两边微分:0
-
2tdt
=
du
在没有积分之前,变量是
t,x
是积分的上限
所以:tdt
=
-(1/2)du
又因为:x²-t²=u,t:0--->x,u:x²--->0
所以:∫tf(x²-t²)dt
=-(1/2)∫f(u)du
此时的积分区间是:x²--->0
上下区间对调后,得:
∫tf(x²-t²)dt
=-(1/2)∫f(u)du
【x²--->0】
=(1/2)∫f(u)du
【0--->x²】
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