Question

已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左右顶点分别为A，B，点...

已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左右顶点分别为A，B，点P是双曲线C上不同于顶点的任意一点，若直线PA、PB的斜率之积为12． （Ⅰ）求双曲线C的离心率e； （Ⅱ）若过点P作斜率为k（k≠±ba）的直线l，使得l与双曲线C有且仅有一个公共点，记直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，问是否存在实数λ使得1k1+1k2=λk．

Answer 1

解：（1）设P（m，n），又A（-a，0），B（a，0），
则kPA=nm+a，kPB=nm-a，
∵kPA•kPB=12，∴nm+a•nm-a=12，
即m2-2n2=a2，又m2a2-n2b2=1，
∴b2=12a2，即c2-a2=12a2，e2=32，
即e=62；
（2）∵l与双曲线有且只有一个公共点，且l的斜率k（k≠±ba）即l不平行于渐近线，
∴P为切点，
∵双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）上一点M（x0，y0）的切线方程为x0xa2-y0yb2=1
∴直线l的方程为mxa2-nyb2=1即mx-2ny=2b2即k=m2n，
又1k1=m+cn，1k2=m-cn-0，
∴1k1+1k2=2mn
故存在λ=4，使得1k1+1k2=4k．