Question

若秩等于1,a^n等于

请教一个关于秩为1时一个定理的证明.
当r(A)=1时,请问为什么|λE-A|=λ^n-∑aiiλ^(n-1)?

Answer 1

证明：设A的特征值λ1、λ2……λn,
r(A)=1,故不妨设λ1≠0,其余为0.
又有|λE-A|==(λ-λ1)(λ-λ2)...(λ-λn) =(λ-λ1)λ^(n-1)=λ^n-λ1λ^(n-1)
而∑aii是矩阵的迹 ,∑aii=∑λi=λ1；
所以|λE-A|=λ^n-∑aiiλ^(n-1)
另外：其实也可以用直接带入公式去证明,
具体公式忘了：|λE-A|=λ^n-∑aiiλ^(n-1)+∑(二阶子式的行列式)λ^(n-2)-
∑(三阶子式的行列式)λ^(n-2)+……+(-1)^(n)∑(n阶子式的行列式=|A|)
r(A)=1 => 二阶子式的行列式=三阶子式的行列式=……=n阶子式的行列式=0
故得证.