Question

【数学】函数f(x),g(x),与h(x)=f(x)/g(x)之间的关系问题

【数学】命题：“若两个函数f(x),g(x),设h(x)=f(x)/g(x)，在x=a的时候g(a)=f(a),在x大于a的时候g(x),f(x)恒为增函数，且f(x)的导数值恒大于g(x)的导数值，则h(x)为增函数”是否正确？求证明。

Answer 1

正确
因为是x>a时增函数，所以f
(x)>f(a)
g(x)>g(a)
又因为g(x),f(x)恒为增函数，且f(x)的导数值恒大于g(x)的导数值
所以f
'(x)>g
'(x)>0,
所以f
(x)g
'(x)>f(a)
g
'(x)
,g(x)f
'(x)>g(a)f
'(x)
所以g(x)f
'(x)-f
(x)g
'(x)>g(a)f
'(x)-f(a)
g
'(x),因为g(a）=f(a)
所以g(a)f
'(x)-f(a)
g
'(x)=g(a)[f
'(x)-
g
'(x)]》0
所以g(x)f
'(x)-f
(x)g
'(x)>0,然后你可以考察h（x）的导数在a到正无穷上就恒大于零了，则h(x)恒为增函数

Answer 2

你的提问有问题，根据题意，可以证明h(x)是奇函数，
因为h(-x)=f(-x)g(-(-x))-f(-(-x))g(-x)=f(-x)g(x)-f(x)g(-x)=-h(x)
而却无法得到h(x)=f(x)g(x).
举个简单例子f(x)=g(x)=1,x∈r
则有h(x)=1-1=0,而f(x)g(x)=1*1=1.得出矛盾

Answer 3

h'(x)=(f'(x)g(x)-g'(x)f(x))/(g(x))^2只要考察分子的正负就行。
设t(x)=f'(x)g(x)-g'(x)f(x)则t'(x)=f''(x)-g''(x)
对于
连续函数
t(a)有定义。则t(a)=(f'(a)-g'(a))f(a)(或者g(a))
我们只有f(x)的导数值恒大于g(x)的导数值不能确定t'(x)=f''(x)-g''(x)的正负，所以不能判断。

Answer 4

h(X)'=(f'g-g'f)/gx^2
,,(f'g-g'f）不一定恒大于零，如果在某一点X0
f(x0)/g(x0)大于f(x)‘/g(x)’时h(x)为减函数。例如（10/1大于15/2）