本篇文章介绍微分方程常见的种类及其用法以及相关的概念，并且讲解相关的原理，为了更好的记忆，还会通过逻辑的方法快速记忆。文章分为三部分，第一部分相关的概念，第二部分各种类型的微分方程的相关解法，第三部分归纳和总结
一.概念
【微分方程】-含有导数或微分的方程称为微分方程，未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程
【微分方程的阶数】-微分方程中导数或微分的最高阶数称为微分方程的阶数
【微分方程的解】-使得微分方程成立的函数称为微分方程的解
【微分方程的特解】-微分方程的不含任意常数的解称为微分方程的特解
【微分方程的通解】-所含相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相等的微分方程的解称为微分方程的通解。
二.微分方程的类型及其解法
上述描述了微分方程的相关概念，大体了解一下即可，下面介绍微分方程各种类型，接着往下看
一阶微分方程的种类和解法:
（1）可分离变量的微分方程
可分离变量微分方程的特点就是x与y是相乘的形式，通过下面的例题总结下解题步骤:
微分方程整理成x,y乘积的形式(包括和的形式)
分离变量，即对应的项移到对应的积分变量
微分方程两边积分，不定积分别忘记加常数C
整理微分方程，看出具体的形式为齐次微分方程
如果是dy/dx直接设置u=y/x，如果是dx/dy,那么设置为u=x/y
将设置的u=y/x通过对x求导直接替代dy/dx
微分方程两边积分，如果给特值直接带入特值得到微分方程解
最后非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次的特解
由特征方程求特征值
根据特征值设齐次方程的通解
对比特征值和k值是否相同，然后根据方程设置非齐次方程的特解
非齐次特解带回原方程，求参数
最后非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次的特解
（2）齐次微分方程
如果说可分离变量是x,y相乘的形式，那么齐次微分方程就是y/x的相除形式
根据上述的齐次微分方程题的解法，我们可以归结为以下几点:
(3)一阶齐次线性微分方程和一阶非齐次线性微分方程
一阶齐次线性微分方程和对应的非齐次线性微分方程只要将P(x)中的x变量看成常数，就相当于解一元二次方程一样，通过系数p(x)进行求通解，具体怎么思考还需要各位看官们的怎么思考了，下面看一道例题趁热打铁
在使用的过程中只要记住类型形式和对应的公式，加以灵活运用即可。
其实只要是有齐次和非齐次的这种，就有一个规律，就是非齐次方程的通解等于齐次方程的通解加上非齐次方程的特解。
下面介绍第二类微分方程，可降阶的高阶微分方程
可降阶的高阶微分方程有三大类:
第一类，y的n阶导函数形式，
这种的微分方程就一种方法，直接积分到只剩y，例如下面的题
第二类，缺少y项的微分方程,
对于缺少y的微分方程，我们设置y'=p，y'对x求导y''=dp/dx，然后把相应的参数替换进行求积分就可以了，我们通过题来理解一下
缺y的微分方程使用y'=p替换后可以转换成其他类型的微分方程，例如上面的变成了一阶非齐次微分方程，就可以使用通解公式，最后不要忘记将参数回代，再次积分
第三类，缺少x项的微分方程
不管是缺少x的还是缺少y的，首先都是设置y'=p,只是在y''不相同，因为缺少x时你设置的变量中就不能有x,缺少y的设置变量就不能有y,所以就需要通过链式法则进行变换
通过例题我们感受下真谛:
最后一种类型的微分方程就是高阶线性微分方程
高阶线性微分方程分为齐次和非齐次，齐次就是最后为0，非齐次最后不为0
的形式，也就是y的n阶导数的系数全为常数
只要把上面的表理解记忆对于二阶常系数齐次线性微分方程的解就不再是问题
有了齐次线性微分方程就会有非齐次线性微分方程，在上述说过:
非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次的特解
所以非齐次的通解源于齐次却又高于齐次，为了解决非齐次通解，在组成上我们就差一个非齐次的特解的求法，就完美的所有的关系就打通了
上述就是求非齐次的特解的方法，跟齐次一样只要理解表格的组成规律就能完美求出，最后一个就是求非齐次通解的具体步骤是怎样的?
注意:在求非齐次特解的时候，特解是由三部分组成的
三.归纳总结
一般情况下，根据上面的类型找到对应的解答步骤就可以完成，例如xy的形式就想到可分离变量，x/y或y/x形式就想到齐次微分方程的解法，在y的一阶导数和二阶导数存在的情况下，如果缺x或者缺y项，就想到可降阶的高阶微分方程的解法，不管怎样都应该找对应的练习题进行练习，熟练才能自然的反映出来。本篇文章大概是全网解释的比较全面的了，希望大家多多关注，转发让更多人看见，谢谢看官们的支持!!!
系科仪器
2024-08-02 广告
