Question

一个多条曲线围成的区域的二重积分如何表示，如何交换积分次序

Answer 1

上面的例题

积分式子从左向右看，注意，是从左向右。先看到dx还是dy呢？
如果先看到dx，那就称为是X型区域
如果先看到dy，那就称为是Y型区域
反之，要写X型区域的积分式，dx就写在靠左的位置
要写Y型区域的积分式，dy就写在靠左的位置

X型的话，X的范围必须是具体的值，本例中为 0 ≤ x ≤ 1
Y的范围必须是函数的形式，本例中为x^2 ≤ y ≤ x

Y型的话，Y的范围必须是具体的值
X的范围必须是函数的形式

图中阴影区域为我们最终要求的二重积分区域

如何刀切法？假设我们现在要把一根细长的黄瓜切成片

X型区域，X轴就是黄瓜，切X轴
那么刀最左边能切到的位置就是x取值下限
刀最右边能切到的位置就是x取值上限
X型，X的范围要用数值表示
所以这里X型：0 ≤ x ≤ 1。
Y的范围呢？我们这一刀下去，切到的两个曲线方程y=什么什么x，
X型，Y的范围要用函数表示
这里上面是y=x下面是y=x^2 所以，y的范围就是x^2 ≤ y ≤ x

变换积分次序就是指X型变成Y型区域，那就把Y轴想像成一根细长的黄瓜，要切它成片
我们来切Y轴
Y型区域
y的范围要用数值表示
刀最上边能切到的位置就是Y取值上限
刀最下边能切到的位置就是Y取值下限
Y型，Y的范围要用数值表示，所以0 ≤ y ≤ 1
Y型，X的范围要用函数表示
那么X的范围就是这一刀下去，切到的两个曲线方程x=什么什么y
左边切到的是x=y ,右边切到的是x=√y
所以y ≤ x ≤ √y
那么我们来写积分式
Y型先写dy，然后积分上下限写上就行了。
这里要保证你一刀切下去的时候，变量的上下限，只能有一个方程。

如果是Y型区域的话，一刀下去，切到的上限和下限只有一个方程，这利用上面的方法没有什么问题
那如果是X型区域的话呢？一刀下去，发现切到的上限不只是一个方程啊，这怎么办呢？也简单，把图形分成两半，然后两个积分式加起来就可以了。具体不再赘述。