Question

y=x与y=sinx的图象交点

令sinx-x=0
显然当x=0方程成立（一个交点）

下证交点唯一 ：
当1>X>0，令f(x)=sinx-x
则f'(x)=cosx-1
当1>X>0时，cosx<1,所以f'(x)<0,即f(x)单调递减，所以不会有交点
当x=1是，sinx不等于x
当x>1时有x>1，sinx<1，显然不会相交
又因f(x)为奇函数，所以当x<0时也没有交点

为什么f(x)单调递减，所以不会有交点？
f(x)为奇函数，所以当x<0时也没有交点?

Answer 1

画个草图比较有助於理解。

因为x=0方程成立（一个交点）
又因为f(x)单调递减，所以函数等於0后一路递减（小於0而不可能等於0）
所以方程不再成立，不会有交点

因为f(x)为奇函数，奇函数关於原点对称
又因为f(x)>0时，以证明无焦点，对称过去，
所以当x<0时也没有交点，

谢谢。打字不容易啊。。。

Answer 2

首先，在X=0处，f（x）的值为0，而在0<x<1区间内，f(x)单调递减，故值应不大于0，即函数sinx的图像在此区间内应在函数y=x的下方，故无交点。
第二个，奇函数是关于原点对称的，根据图像对称性质可知，图像在第三象限中的走向与第一象限中关于原点对称，故也没交点。

Answer 3

就1个交点啊，就是原点啊！兄弟。首先sinx是有界函数，也就是绝对值是小于1的，而对比函数是y=x,也就是说交点一定在-1<x<1之间;另外，sinx在的导数都小于等于1，也就是说即使有交点的话，只会有一个，易知为原点。（后者是决定交点个数的重要依据；前面是定限，也就是说，前面的分析对于其它对比函数具有一定作用）