设a、b为实数,对所有正整数n(≥2),a^n+b^n是有理数,证明:a+b是有理数
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证明:注意到a^(3n)+b^(3n)=(a^n+b^n)(a^(2n)+b^(2n)-a^nb^n)
若a^n+b^n=0,如果n是偶数,那么a=b=0,a+b=0为有理数;如果n为奇数,那么a^n=(-b)^n,得a=-b,即a+b=0为有理数
若a^n+b^n≠0,a,b不都为0,那么a^(2n)+b^(2n)-a^nb^n=(a^(3n)+b^(3n))/(a^n+b^n),因为a^(3n)+b^(3n),a^n+b^n均为有理数,所以a^(2n)+b^(2n)-a^nb^n为有理数,即a^nb^n=(ab)^n为有理数(n≥2)
如果a,b中有一个为0,不妨设为a,那么b^n为有理数,b≠0,那么b=b^3/b^2为有理数,即a+b为有理数
如果a,b均不为0,即ab≠0,那么ab=(ab)^3/(ab)^2为有理数,再由a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)
,且a^3+b^3≠0知a+b=(a^3+b^3)/(a^2+b^2-ab)为有理数
综上所述a+b是有理数
若a^n+b^n=0,如果n是偶数,那么a=b=0,a+b=0为有理数;如果n为奇数,那么a^n=(-b)^n,得a=-b,即a+b=0为有理数
若a^n+b^n≠0,a,b不都为0,那么a^(2n)+b^(2n)-a^nb^n=(a^(3n)+b^(3n))/(a^n+b^n),因为a^(3n)+b^(3n),a^n+b^n均为有理数,所以a^(2n)+b^(2n)-a^nb^n为有理数,即a^nb^n=(ab)^n为有理数(n≥2)
如果a,b中有一个为0,不妨设为a,那么b^n为有理数,b≠0,那么b=b^3/b^2为有理数,即a+b为有理数
如果a,b均不为0,即ab≠0,那么ab=(ab)^3/(ab)^2为有理数,再由a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)
,且a^3+b^3≠0知a+b=(a^3+b^3)/(a^2+b^2-ab)为有理数
综上所述a+b是有理数
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