Question

设a、b为实数,对所有正整数n(≥2),a^n+b^n是有理数,证明：a+b是有理数

Answer 1

证明：注意到a^(3n)+b^(3n)=(a^n+b^n)(a^(2n)+b^(2n)-a^nb^n)
若a^n+b^n=0，如果n是偶数，那么a=b=0，a+b=0为有理数；如果n为奇数，那么a^n=(-b)^n，得a=-b，即a+b=0为有理数
若a^n+b^n≠0，a,b不都为0，那么a^(2n)+b^(2n)-a^nb^n=(a^(3n)+b^(3n))/(a^n+b^n)，因为a^(3n)+b^(3n)，a^n+b^n均为有理数，所以a^(2n)+b^(2n)-a^nb^n为有理数，即a^nb^n=(ab)^n为有理数(n≥2)
如果a,b中有一个为0，不妨设为a，那么b^n为有理数，b≠0，那么b=b^3/b^2为有理数，即a+b为有理数
如果a,b均不为0，即ab≠0，那么ab=(ab)^3/(ab)^2为有理数，再由a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)
，且a^3+b^3≠0知a+b=(a^3+b^3)/(a^2+b^2-ab)为有理数
综上所述a+b是有理数