Question

一道初二数学题：∠BOC是多少度？

Answer 1

圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半

证明：

已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.

证明：

情况1：如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：

∵OA、OC是半径

解：∴OA=OC

∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）

∵∠BOC是△AOC的外角

∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC

图1

情况2：

如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：

连接AO，并延长AO交⊙O于D

∵OA、OB、OC是半径

解：∴OA=OB=OC

∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）

∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角

∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）

∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）

∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC

图2

情况3：

如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：

连接AO，并延长AO交⊙O于D连接OA,OB。

解：∵OA、OB、OC、是半径

∴OA=OB=OC

∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）

∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角

∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）

∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）

∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC

从而得证：∠BOC=2∠BAC.

图3

扩展资料：

定理推论

1.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;

2.圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半;

3.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的弧也相等。

4.半圆(直径)所对的圆周角是直角。

5.90°的圆周角所对的弦是直径。

6.等弧对相等的圆周角。(因为相等的弧只有一个圆心角)

注意:在圆中，同一条弦所对的圆周角有无数个。