Question

求数学高手帮忙解决高二文数问题！

已知顶点在原点O，准线方程是y=-1的抛物线与过点M（0,1）的直线l交于A，B两点，若直线OA，OB的斜率之和为1
（1 ）求抛物线方程（2）求直线l方程 （3）求直线l与抛物线相交弦AB的弦长

Answer 1

（1）抛物线准线为y=-1，则设抛物线为x^2=2py，有-p/2=-1，即p=2，所以抛物线方程为x^2=4y 。
（2）设直线方程为y=kx+1，联立两个方程得x^2-4kx-4=0，设A(x1,x1^2/4)，B(x2,x2^2/4)，直线OA，OB的斜率之和为1，则有(x2^2/4)/x2+(x1^2/4)/x1=1，即x1+x2=4。x1，x2是方程x^2-4kx-4=0的两个根，所以可以得出x1+x2=4k，求出k=1，所以直线方程为y=x+1 。
（3）抛物线的焦点为（0,1），直线过焦点，所以弦AB的弦长为A B到准线的距离之和，即x1^2/4+1+x2^2/4+1=(x1+x2)^2/4-x1x2/2+2 有前面的方程可以得出x1+x2=4，x1x2=-4，代入得AB弦长为8

Answer 2

（1）
准线为y=-1，
设抛物线为x^2=2py，有-p/2=-1，即p=2，
抛物线方程为x^2=4y 。
（2）
直线方程为y=kx+1，
得x^2-4kx-4=0，
设A(x1,x1^2/4)，B(x2,x2^2/4)，
有(x2^2/4)/x2+(x1^2/4)/x1=1，即x1+x2=4。x1，x2是方程x^2-4kx-4=0的两个根，
得x1+x2=4k，求出k=1，所以直线方程为y=x+1 。
（3）焦点为（0,1），直线过焦点，所以弦AB的弦x1^2/4+1+x2^2/4+1=(x1+x2)^2/4-x1x2/2+2
可得x1+x2=4，x1x2=-4，代入得AB弦长为8