Question

已知,在三角形ABC中,∠C=90度,∠B=30度,AC=6,点D、E、F分别在边BC、AC、AB上,AD平分∠CAB,EF⊥AD,垂足为H

当三角形DEF是RT三角形时，求出BF的长

Answer 1

解1:
△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6
所以,AB=2*AC=2*6=12
直角三角形ACD中，∠CAD=∠BAC/2=60/2=30
所以,AD=AC÷√3/2=6*2/√3=4√3
AD平分∠BAC,EF⊥AD
所以,△AEF等腰,而又有∠EAF=60
所以,△AEF是等边三角形,H是EF的中点
DH是直角三角形斜边EF的中线,所以,DH=EF/2=AF/2
AH=AF*√3/2
AH+DH=AD
所以,AF*√3/2+AF/2=4√3
AF=4√3/(√3/2+1/2)
=4√3(√3-1)
所以,BF=AB-AF=12-4√3(√3-1)=4√3
---------解2:-------------
AD平分∠BAC,EF⊥AD
所以,△AEF等腰,而又有∠EAF=60
所以,△AEF是等边三角形
所以,∠AFE=60,AE=AF,
易证,△ADE≌△ADF
所以,DE=DF
而,△DEF是直角三角形
所以,∠DFE=45
∠BFD=180-∠DFE-∠EFA=180-45-60=75
∠BDF=180-∠B-∠BFD=180-30-75=75
所以,∠BFD=∠BDF
BF=BD
而,∠BAD=∠BAC/2=30=∠B
所以,BD=AD
直角三角形ACD中，∠CAD=∠BAC/2=60/2=30
所以,AD=AC÷√3/2=6*2/√3=4√3
所以,BF=BD=AD=4√3

Answer 2

∵abc是直角三角形
∴cb2=ab2-ac2
即cb=6倍根号3
因为∠b=30°
∠c=90°
所以 ∠a=60°
因为ad平分∠a
所以∠cad=30°
设cd为x
则ac2+x2=ad2
即36+x2=（6√3-x)2
x求出后算出bd
在三角形acd中
∠a=30°
∠c=90°
所以∠acd=60°
因为∠fdb=90°
所以∠adf=30°
所以af=fd
设fd为x
则有x2+db2=（ab-fd）2

算出来就可以了