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如何通过特征值来确定一个微分方程的通解?
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令p=y',则原式化为 p'=p+x
对应齐次线性方程 p'=p 即dp/p=dx
得 ln|p|=x+C',p=Ce^x
令C=u(x)(这里简写为u)
则p=ue^x①
p'=u'e^x+ue^x②
将①②代入p'=p+x,得u'=xe^(-x)
方程两边同时积分
得u=-(x+1)e^(-x)+C1'
代入①得p=-x-1+C1e^x,即dy=(-x-1+C1e^x)dx
两边同时积分,得 y=-(x^2)/2-x+C1e^x+C2
扩展资料:
1、对于一个微分方程而言,其解往往不止一个,而是有一组,可以表示这一组中所有解的统一形式,称为通解(general solution)。对一个微分方程而言,它的解会包括一些常数,对于n阶微分方程,它的含有n个独立常数的解称为该方程的通解。
2、求微分方程通解的方法有很多种,如:特征线法,分离变量法及特殊函数法等等。而对于非齐次方程而言,任一个非齐次方程的特解加上一个齐次方程的通解,就可以得到非齐次方程的通解。
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