Question

如何通过特征值来确定一个微分方程的通解？

Answer 1

令p=y'，则原式化为 p'=p+x

对应齐次线性方程 p'=p 即dp/p=dx

得 ln|p|=x+C'，p=Ce^x

令C=u（x）（这里简写为u）

则p=ue^x①

p'=u'e^x+ue^x②

将①②代入p'=p+x，得u'=xe^（-x）

方程两边同时积分

得u=-（x+1）e^（-x）+C1'

代入①得p=-x-1+C1e^x，即dy=（-x-1+C1e^x）dx

两边同时积分，得 y=-(x^2)/2-x+C1e^x+C2

扩展资料：

1、对于一个微分方程而言，其解往往不止一个，而是有一组，可以表示这一组中所有解的统一形式，称为通解（general solution）。对一个微分方程而言，它的解会包括一些常数，对于n阶微分方程，它的含有n个独立常数的解称为该方程的通解。

2、求微分方程通解的方法有很多种，如：特征线法，分离变量法及特殊函数法等等。而对于非齐次方程而言，任一个非齐次方程的特解加上一个齐次方程的通解，就可以得到非齐次方程的通解。