Question

不是很懂微分方程中特征值等于±i怎么求来的？

比如这个题的±i，还有这个底下的通解和书上的不一样啊。

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Answer 1

λ³-2λ²+λ-2=(λ-2)λ²+(λ-2)=(λ-2)(λ²+1)=0。∴λ-2=0，λ²+1=0。∴λ=2，λ=±√(-1)。
按照复数中的定义，i=√(-1)。∴λ=±√(-1)=±i。
【另外，本题中的通解没有错漏。“λ=±i”相当于第一张图片中“α=0、β=1”的特例】供参考。

追问

可是C1答案里面对应的是e。不是cos啊 这个书上的不就对不上了

追答

特征根λ=α±βi，对应的通解为“[e^(αx)][(C1)cos(βx)+(C2)sin(βx)]”。
α=0时，e^(αx)=1、β=1时，(C1)cos(βx)+(C2)sin(βx)=(C1)cosx+(C2)sinx。C1、C2，乃至于C3，……，都是任意常数，可以随便定义【不用C1、C2，……，用A、B、C……，也行的】，没有必要“拘泥于”这种一一对应关系的。

Answer 2

λ³-2λ²+λ-2=(λ-2)λ²+(λ-2)=(λ-2)(λ²+1)=0。∴λ-2=0，λ²+1=0。∴λ=2，λ=±√(-1)。
按照复数中的定义，i=√(-1)。∴λ=±√(-1)=±i