Question

共线向量定理

Answer 1

共线向量定理：如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。

证明：

1）充分性：对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使b=λa，那么由实数与向量的积的定义知，向量a与b共线。

2）必要性：已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时，令λ=m，有b=λa，当向量a与b反方向时，令λ=-m，有b=λa。如果b=0，那么λ=0。

3）唯一性：如果b=λa=μa，那么(λ-μ)a=0。但因a≠0，所以λ=μ。

拓展知识

共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。共线向量基本定理为如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。

推论1

两个向量a、b共线的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ，使得λa+μb=0。

证明：1）充分性，不妨设μ≠0，则由λa+μb=0得-b=(λ/μ)a。由共线向量基本定理知，向量a与b共线。2）必要性，已知向量a与b共线，若a≠0，则由共线向量基本定理知，b=λa，所以λa-b=0，取μ=-1≠0，故有λa+μb=0，实数λ、μ不全为零。若a=0，则取μ=0，取λ为任意一个不为零的实数，即有λa+μb=0。

推论2

两个非零向量a、b共线的充要条件是：存在全不为零的实数λ、μ，使得λa+μb=0。

证明：1）充分性，∵μ≠0，∴由λa+μb=0可得b=(λ/μ)a。由共线向量基本定理知，向量a与b共线。2）必要性，∵向量a与b共线，且a≠0，则由共线向量基本定理知，b=λa；又∵b≠0，∴λ≠0；取μ=-1≠0，就有λa+μb=0，实数λ、μ全不为零。