Question

一道不等式问题

不要用特殊值法，要证明过程，谢谢！我纠结很久了。。。。

Answer 1

A、
1=(a1+a2)(b1+b2)
=a1b1+a2b2+a1b2+a2b1
即
a1b1+a2b2=1-(a1b2+a2b1)
首先可以看到
A=1-C
即
a1b1+a2b2=1-(a1b2+a2b1)
如果a1b1+a2b2=a1b2+a2b1=1/2
则有b1=b2=1/2
不符合条件，所以肯定不选D，A、C中有一个比1/2大
A-C=a1b1+a2b2-a1b2-a2b1
=a1(b1-b2)+a2(b2-b1)
=(b1-b2)(a1-a2)>0
则A>C
最后比较A和B
B、
(a1+a2)^2
=a1^2+a2^2+2a1a2
=1
(b1+b2)^2
=b1^2+b2^2+2b1b2
=1
a1a2+b1b2=1-(a1^2+a2^2+b1^2+b2^2)/2
A-B=1-(a1b2+a2b1)-[1-(a1^2+a2^2+b1^2+b2^2)/2]
=(a1^2+a2^2+b1^2+b2^2)/2-(a1b2+a2b1)
(a1^2+b1^2)/2≥a1b1
(a2^2+b2^2)/2≥a2b2
则A≥B
最大的是A

Answer 2

a1*a2<1/4, b1*b2<1/4,故选项B<1/2=选项D,
选项A+选项C=(a1+a2)*(b1+b2)=1，
且选项A-选项C=(a1-a2)*(b1-b2)>0，所以选项A>1/2，选项C<1/2。
综上可知，最大值选A。

Answer 3

A