Question

1的平方加2分之一的平方加3分之一的平方`````的和怎么求

Answer 1

1+(1/2^2)+(1/3^2)+……+(1/n^2)
把n*n放缩成n*(n-1)
1/(n*n)<1/(n*(n-1))=1/(n-1)-1/n
所以 原式=1=1+1/4+1/9+……+1/(n*n)<1+1/4+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+……+(1/(n-1)-1/n)=7/4-1/n<7/4
∑(1/n^2)[n:1->∞]=1+1/4+1/9+……+1/n^2+……=π^2/6 ，学过高数的人都知道
∑(1/n^4)[n:1->∞]=1+1/16+1/81+……+1/n^4+……=π^4/90 ，也可以用傅立叶级数的知识得到
∑(1/n^6)[n:1->∞]=π^6/945 ，我目前还不会做
实际上对于k为偶数的情况，欧拉那个公式
∑(1/n^k)[n:1->∞，k:2，4，6，……]=-(2πi)^k B(k)/(2k!)
这是欧拉得到的最漂亮的结果之一（当然，他猜了好几年，证明了十几年）。但是又多出个i（就是i^2=-1那个），还有个B(k)。B(k)就是伯努利数，伯努利数没有一个通项公式，算起来也比较复杂，不过除了B(1)=-1/2,B(2k+1)都是0。前几位伯努利数是
B0 = 1, B1 = -1/2, B2 = 1/6, B4 = -1/30, B6 =1/42, B8 = -1/30, B10 = 5/66, B12 =-691/2730, B14 = 7/6,B16 = -3617/510, B18 = 43867/798, B20 = -174611/330…
现在，我们把∑(1/n^k)[n:1->∞]表示为一个函数ζ(s)，
我们有ζ(2)=π^2/6，ζ(4)=π^4/90，ζ(6)=π^6/945，ζ(k)=-(2πi)^k B(k)/(2k!)(k是偶数)
很自然的问题出来了，ζ(3)=?，ζ(5)=?，ζ(2k+1)=?
非常不幸，这个问题欧拉没搞清楚，现在也没人能够搞清楚。现在唯一知道的是ζ(3)是个无理数，而ζ(5)是有理数还是无理数都不清楚。
这个没有通项公式，它的极限是(1/6)*(π^2)。解法是用傅立叶级数展开。