Question

证明1+1/2+1/3+...+1/n<2+ln(n+1)

已知x>ln(x+1),
1+1/2+1/3+1/4+...+1/n>ln(n+1)
这是已知的啊，要证明的在题目上证明1+1/2+1/3+...+1/n<2+ln(n+1)

Answer 1

ln(n+1)=[ln(n+1)-lnn]+[lnn-ln(n-1)]+...+[ln2-ln1]
设f(x)=ln(1+x)+1/(1+x)-1，f'(x)>0，f(x)单调递增，f(0)=0，所以f(x)>0,
f(1/n)>0，所以，ln(n+1)-ln(n)+n/(n+1)-1>0
即：ln(n+1)>1/(n+1)+1/n+...+1/2
所以ln(n+1)+2>(1/n+...+1/2+1)+1+1/(n+1)>1/n+...+1/2+1

Answer 2

将ln(n+1)看作和式：
ln(n+1)=[ln(n+1)-lnn]+[lnn-ln(n-1)]+...+[ln2-ln1]
由拉格朗日中值定理：ln(k+1)-lnk=1/x_k(k+1-k)=1/x_k(“_”后面的是下标)，其中x_k介于k和k+1之间。
于是有：
ln(n+1)=[ln(n+1)-lnn]+[lnn-ln(n-1)]+...+[ln2-ln1]=1/x_n+1/x_(n-1)+...+1/x_1
利用k<x_k<k+1有
1/x_n+1/x_(n-1)+...+1/x_1>1/(n+1)+1/n+...+1/2
也即ln(n+1)>1/(n+1)+1/n+...+1/2
所以ln(n+1)+2>(1/n+...+1/2+1)+1+1/(n+1)>1/n+...+1/2+1得证。。