Question

已知函数f(x)=向量a*向量b，其中向量a=（2cosx,根号3sinx),向量b=(cosx,-2cosx) 1）求函数f（x）在【0，π

（1）求函数f（x）在【0，π】上的单调递增区间和最小值
（2）在三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，切f(A)= -1，求（b-2c）/(acos(60+C)）

Answer 1

已知函数f(x)=向量a*向量b，其中向量a=（2cosx,根号3sinx),向量b=(cosx,-2cosx)
（1）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间和最小值
（2）在三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且f(A)= -1，
求（b-2c）/[acos(60°+C)].
解：（1）f(x)=2(cosx)^2-2√3sinxcosx
=1+cos2x-√3sin2x=1+2cos(2x+π/3),
x∈[0,π],
f(x)|min=f(π/3)=-1;
f(x)|max=f(5π/6),
∴所求单调递增区间是[π/3,5π/6].
(2)f(a)=-1,由（1），A=π/3,C=2π/3-B.
sinC=(1/2)(√3cosB+sinB)
由正弦定理，原式=（sinB-2sinC)/[sinAcos(A+C)]
=-√3cosB/[(-√3cosB)/2]=2.

Answer 2

f(x)=2(cosx)^2-2√3sinx*cosx=cos2x-√3*sin2x+1
=2(cos2x*cosπ/3-sin2x*sinπ/3)+1=2cos(2x+π/3)+1。
(1)，当0<=x<=π时，π/3<=2x+π/3<=7π/3，
而函数y=cosx，在[π/3，π]区间单调递减，在[π，2π]区间单调递增，
在[2π，7π/3]区间单调递减。
所以函数f(x)=2cos(2x+π/3)+1，在[0，π/3]区间单调递减，在[π/3，5π/6]区间单调递增，
在[5π/6，π]区间单调递减。
故函数f(x)的单调递增区间为：[π/3，5π/6]；
最小值为：f(π/3)=2cos(2π/3+π/3)+1=-1。

(2)，f(A)= -1，0<A<π，所以 A=π/3，

（b-2c）/(acos(60+C)）中60是什么？是π/3吗？

在三角形ABC中，A=π/3，C=2π/3-B，且
b/a=sinB/sinA，c/a=sinC/sinA，所以
原式=(sinB-2sinC)/[sinA*cos(π/3+C)]
=(sinB-√3*cosB-sinB)/[√3/2*cos(π-B)]
=-√3*cosB/[-√3/2*cosB]=2。