Question

圆锥曲线

若椭圆 y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)的离心率为√ 3/2，长轴的端点与短轴的端点的距离为√ 5.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点D（0,1）的直线L与椭圆C交于两点E,F。O为坐标原点，若以EF为直径的圆过原点，求直线的方程

Answer 1

e=c/a=√3/2☞e²=c²/a²=3/4,☞b²=a²/4①
椭圆表示为:y²/4b²+x²/b²=1
长轴的端点与短轴的端点的距离为√ 5.即为:a²+b²=5②
①②:a²=4,b²=1,c²=3
所以椭圆为:y²/4+x²=1③
2):
设过D直线方程为:y=kx+1④
③④:(4+k²)x²+2kx-3=0
x1+x2=-2k/(4+k²)⑤,x1x2=-3/(4+k²)⑥
EF中点Q(-k(4+k²),-3/2(4+k²))
EF=√(1+k²)*√[(x1+x2)²-4x1x2]⑦
半径r=EF/2=⑦/2
所以QO=r
联立以上相关，即可求出k