Question

圆锥曲线

Answer 1

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问题描述:

求一套做后能迅速提高水平的，有关圆锥曲线的试题及答案

解析:

请允许我发表一下感慨，这道题很变态，真得很变态。

1) 斜率应当用点差法求

设A(xa,ya) B(xb,yb)

椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1

由“且短轴端点与两焦点F1、F2连线的夹角是120度”条件可得

c=√3b,速得，a=2b,即a^2=4b^2

A,B代入椭圆方程xa^2/a^2+ya^2/b^2=1 xb^2/a^2+y^2/b^2=1

因为，xa+xb=2xo,ya+yb+2yo(xo,yo为圆心）

两式相减得：k=-(b^2/a^2)*(xo/yo)

圆的标准方程为：(x-2)^2+(y-1)^2=5/2,a^2=4b^2

解得：k=-1/2

2) 直线方程为：2x+y-4=0

则，2xa+ya-4=0 A(4-2yo,yo)

√[(4-2ya-2)^2+(ya-1)^2]=r

解得（只需一解即可）：xa=2-√2,ya=(2+√2)/2

代入椭圆方程解出b^2=3

所以椭圆方程为：x^2/12+y^2/3=1

3) (我有两句话：1，出这一问的人不得好死；2，我的计算可能有误）

设中垂线的方程过(0,5√3/3)，则方程为y=k(x-5√3/3)

与其垂直的直线方程设为：y=-(1/k)(x+m)

与椭圆方程并列得：(k^2+4)x^2+8mx+4m^2-12k^2=0

弦线段中点坐标为[-4m/(k^2+4),-mk/(k^2+4)]

如果这样的两点存在的话，重点必在y=k(x-5√3/3)上

那就代入得：m=(20√3-5√3k^2)/9

如果这样的两点存在的话,k^2+4)x^2+8mx+4m^2-12k^2=0的判别式要>=0

判别式=k^2(3k^2+12-m^2)>=0 m代入得(此间省略):25k^4-281k^2+76<=0

它的判别式△=71361>0

因此它的图像与x轴有两个交点，由韦达定理可得：两根皆大于零

又因为开口向上，所以可以确定符合条件的k^2一定存在。

p.s:此题有很多思维方法，到时候再聊。