Question

圆锥曲线

已知两定点E(-2,0),F(2,0),动点P满足向量PE·PF=0，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M满足向量PM=向量MQ，点M的轨迹为C.C方程：x²/4+y²=1
过点D（0,-2）作直线l与曲线C交于A、B两点，点N满足向量ON=OA+OB（0为原点），求四边形OANB面积最大值，并求此时的直线l方程

Answer 1

直线L的斜率存在设为k
L：y=kx-2代入x²/4+y²=1
得：x²+4(kx-2)²=4
即：(4k²+1)x²-16kx+12=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
Δ=256k²-48(4k²+1)>0
64k²-48>0,4k²-3>0
根据韦达定理
x1+x2=16k/(4k²+1),x1x2=12/(4k²+1)
|AB|=√(1+k²)*√[(x1+x2)²-4x1x2]
=√(1+k²)*√[256k²/(4k²+1)²-48/(4k²+1)]
=√(1+k²)*√[(64k²-48)/(4k²+1)²]
O点到直线L的距离d=2/√(1+k²)
∵向量ON=OA+OB
∴四边形OANB为平行四边形
∴SOANB=2SΔAOB
=|AB|*d
=2*√[(64k²-48)/(4k²+1)²]
=8√[(4k²-3)/(4k²+1)²]
设4k²-3=t>0
根号下式子为
u=t/(t+4)²=t/(t²+8t+16)
=1/(t+16/t+8)
∵t+16/t≥2√16=8
但且仅当t=16/t,t=4,即k²=7/4时取等号
∴u≤1/(8+8)=1/16
∴SOANB最大值为2
此时k=±√7/2
直线l方程为y=±√7/2x-2

追问

OANB面积怎么求的

追答

四边形OANB为平行四边形
面积是ΔAOB面积的2倍

追问

AOB面积为什么1，没看出来

追答

没说AOB面积为1

Answer 2

嗯妈啊方法第三方