Question

一道高一数学题，有答案，但是解题思路看不懂，请高人指点。

已知集合A={x|x平方-4mx+2m+6=0},B={x|x<0},若A交B≠空集，求m的取值范围。
答案给的解是：
设全集U={m|b平方-4ac=(-4m)平方-4（2m+6)≥0}={m≤-1或m≥3／2}
若方程x平方-4mx+2m+6=0的两根x1，x2均为非负根，则有{b平方-4ac≥0,x1+x2=4m≥=,x1x2=2m+6≥0 解得m≥3／2.
因为{m|m≥3／2}在全集U={m|m≤-1或m≥3／2}中的补集为{m|m≤-1},所以当实数m的取值范围为{m|m≤-1}时A交B≠空集。

我不清楚此时为什么要用到韦达定理和b平方-4ac.希望讲解详细点。谢谢！

Answer 1

那个全集U是设出来的，跟原来的A、B没有关系
这题是这个思想
A的集合就是x^2-4mx+2m+6=0的根
要使得题设成立
必然满足2个条件
❶此方程有根
❷有1根为负根
那么用b^2-4ac≥0
是根的判别式，说明次方程有根
韦达定理,x1+x2>0且x1x2>0，说明两根全为正，
最后求它的，补集，
则此集合就是为负根的集合

Answer 2

若A交B≠空集，则A中的方程必有负根，U是考虑有解，最终的答案必须符合U，即是U的子集
“若方程x平方-4mx+2m+6=0的两根x1，x2均为非负根”是“有负根”的互补
这样思路就清晰了

Answer 3

x平方-4mx+2m+6=0 所以若b平方-4ac<0则A∩B=空集
所以在b平方-4ac》0 的情况下用韦达定理判断