Question

已知向量a=(sinθ,-2)b=(1,cosθ),互相垂直，其中θ∈（0，π/2） （1）求cosθ和sinθ。

（2）若sin(θ－Φ)=1/根号10,0<Φ<90.求cosΦ的值

Answer 1

(1) a·b=sinθ-2cosθ=0
所以 tanθ=2
画直角三角形，三边长分别为1,2,sqr(5)
所以 sinθ=2/sqr(5), cosθ=1/sqr(5)

(2) 因为θ,φ都是锐角，sin(θ-φ)>0
所以0<φ<θ<π/2
画直角三角形，三边长分别为1,3,sqr(10)
sin(θ-φ)=1/sqr(10)
cos(θ-φ)=3/sqr(10)
由(1)知：sinθ=2/sqr(5), cosθ=1/sqr(5)
所以cosφ=cos[θ-(θ-φ)]=cosθcos(θ-φ)+sinθsin(θ-φ)=sqr(2)/2

*注sqr(x)表示 根号下x

Answer 2

(1)a=(sinθ,-2)b=(1,cosθ),互相垂直
所以ab=0
即sinθ -2cosθ=0
所以tanθ=2
又θ∈（0，π/2）
所以sinθ=2/√5
Cosθ=1/√5
(2) 因为sin(θ－Φ)= 1/√10
所以sinθCosΦ- sinΦCosθ=1/√10
2/√5CosΦ - 1/√5sinΦ=1/√10
2CosΦ – sinΦ= 1/√2
(2CosΦ – sinΦ）^2=4(CosΦ)^2 - 4 CosΦsinΦ + (sinΦ)^2=1/2
(2CosΦ – sinΦ）^2 + (CosΦ + 2sinΦ)^2 =5(CosΦ)^2 + 5(sinΦ)^2=5
所以(CosΦ + 2sinΦ)^2=9/2
又0<Φ<90
所以CosΦ + 2sinΦ >0
即CosΦ + 2sinΦ =3/√2
所以CosΦ= [(CosΦ + 2sinΦ）+ 2(2CosΦ – sinΦ)]/5=[3/√2 + 2* 1/√2]/5=1/√2

Answer 3

解:∵向量a与向量b垂直，∴a*b＝sinθ－2cosθ＝0，即sinθ=2cosθ
∵（sinθ）^2+(cosθ)^2=1
∴(2cosθ)^2+(cosθ)^2=1，即(cosθ)^2=1/5
∵θ∈(0，π/2)
∴cosθ=√5/5，sinθ=2cosθ=2√5/5