Question

已知：a，b，c是三个互不相等的正整数求证：a^3-ab^3,b^3-bc^3,c^3a-ca^3三个数中，至少有一个数能被10整

已知：a，b，c是三个互不相等的正整数，求证：a^3-ab^3,b^3-bc^3,c^3a-ca^3三个数中，至少有一个数能被10整除

Answer 1

设a、b、c是三个互不相等的正整数，证明：在a³b-ab³、b³c-bc³、c³a-ca³三个数中，至少有一个数能被10整除。

证明：由于a³b-ab³=ab(a+b)(a-b)，可知不论a、b的奇偶性如何，ab(a+b)(a-b)必然是偶数，所以这3个数都是偶数；
a³b-ab³=ab(a+b)(a-b)
b³c-bc³=bc(b+c)(b-c)
c³a-ca³=ca(c+a)(c-a)
由于10=2×5，因此现在只需证明a、b、c、a+b、b+c、c+a、a-b、b-c、c-a中有一个能被5整除即可。 有以下几种可能：
①若a、b、c中有一个能被5整除，则原命题成立；
②若a、b、c中有两个数被5除的余数相同，则a-b、b-c、c-a中必有一个能被5整除，原命题成立；
③若a、b、c三个数被5除余数都不相同，由于整数不能被5整除的余数只有1、2、3、4这四种情况。那么a、b、c三个数被5除的余数只有四种情况：1、2、3，1、2、4，1、3、4，2、3、4；可以看出，任意一种情况中，都有两个余数相加等于5，即2+3=5或1+4=5，所以a+b、b+c、c+a
中必有一个能被5整除，原命题同样成立；
综上所述，原命题成立。

Answer 2

我觉得这题思路应该是三式相乘，化简后因式有10，从而证明结论。
或者是三个数中有5,有偶数，但题目未指明三式的结果限制，所以有难度，
呵呵，期待！

Answer 3

这一课我感冒了，据说是根据奇偶性求，这位仁兄答得比较完美