Question

实数X,Y满足X^2+Y^2+2X-4Y+1=0,则X^2+Y^2-2X+1的最大值为

答案是12+8倍根号二

Answer 1

解：∵x,y满足x^2+y^2+2x-4y+1=0
即点（x,y)在圆(x+1)^2+(y-2)^2=4上
圆心（-1,2），半径2
∵x^2+y^2-2x+1=(x-1)^2+y^2
即点（x,y)到点(1,0)距离的平方
∵点（x,y)到点(1,0)距离最大值为
2＋√[（-1-1）^2+4]=2+2√2
∴（x^2+y^2-2x+1）max=（2+2√2）^2=12+8√2

Answer 2

用规划的方法做好了。
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设z²=X²+Y²-2X+1=(x-1)²+y²,令x-1=t
∴z²=t²+y²…………①
由题中有：0=x²+y²+2x-4y+1²=(x+1)²+(y-2)²-4=(t+2)²+(y-2)²+4
即：(t+2)²+(y-2)²=4，在y—t坐标系下反映就是以点（-2，2）为圆心半径为2的圆；
而z的意义是某点（t,y)到坐标原点的距离，通过几何画图显然有：
最远点距离=√(2²+2²)+2=2+2√2；
z²最大值就是（2+2√2）²=12+8√2;
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搞定。。。