Question

函数f(x)=ax+lnx+1/2x^2,a为常数,(1)当a=-4时,求函数的单调区间（2）已知函数f(x)的极大值与极小值之和为-

函数f(x)=ax+lnx+1/2x^2,a为常数,(1)当a=-4时,求函数的单调区间（2）已知函数f(x)的极大值与极小值之和为-9，求a的值（3）是否存在实数a使得f(x)在定义域内为单调函数，如果存在，求出a的范围，否则，说明理由 根据回答的情况，额外加分。。。。。。。。

Answer 1

其实不知道你的1/2x^2是指 1/(2x^2)还是（1/2）* x^2 根据经验按后者做了下 发现第二小问的答案还挺漂亮的。。。 如果是前者吱一声啊。。。 图片可能有点模糊，将就一下吧。。

Answer 2

我来试试：
（1）a=-4
f(x)=-4x+lnx+1/2x^2
对f求导：
f ‘ (x)=-4+1/x+x=x+1/x -4 x>0
当f ‘ (x)>0时为单调递增函数，x>2+√3 或者 0<x<2-√3
当f ‘ (x)<0时为单调递减函数，2+√3>x>2-√3
(2)f ‘ (x)=a+1/x+x=x+1/x +a=0
化简得x^2+ax+1=0
假设这两个根是x1和x2
那么f（x1）+f(x2)=-9
代入f化简得：
a（x1+x2）+lnx1x2+1/2((x1+x2)^2-2x1x2)=-9
△>=0 a<-2
x1+x2=-a>0
x1x2=1
代入化简：a^2=16 又因为a<0,所以a=-4
（3）假设存在a：
当f ‘ (x)>0时为单调递增函数，f ‘ (x)=a+1/x+x=x+1/x +a >=0
所以必须保证想x大于0时，x+1/x +a恒大于等于0
因此x+1/x +a>=0
a>=-(x+1/x)
x>0
根据不等式定理：
a>=-2 时使得f(x)在定义域内为单调增函数；

当f ‘ (x)<=0时为单调递减函数，
必须保证在x大于0时，x+1/x +a恒小于等于0
解出a<=-2
但是此时，f ‘ (x)=a+1/x+x=x+1/x +a=0
将有两个极值，不是单调函数；
综上所述a>=-2时， f(x)在定义域内为单调函数；