Question

在以a、b、c为边的三角形中，a/b=a+b/a+b+c，则它的内角∠A、∠B的关系是？

Answer 1

a/b=(a+b)/(a+b+c)
a(a+b+c)=b(a+b)
a²+ab+ac=ab+b²
ac=b²-a²
利用余弦定理：
cosA=(c²+b²-a²)/(2bc)
=(c²+ac)/(2bc)
=(c+a)/(2b)
cos2A=2cos²A-1
=2(c+a)²/(4b²)-1
=(c²+2ac+a²)/(2b²)-1
=(c²+2ac+a²-2b²)/(2b²)
=(c²+2b²-2a²+a²-2b²)/(2b²)
=(c²-a²)/(2b²)
cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)
=(c²-ac)/(2ac)
=(c-a)/(2a)
=(c-a)(c+a)/(2a)(c+a)
=(c²-a²)/(2ac+2a²)
=(c²-a²)/(2b²-2a²+2a²)
=(c²-a²)/(2b²)
∴cosB=cos2A
即∠B=2∠A