Question

已知直线l:mx+ny=1与椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)交与P,R两点 1.求证:a^2·m^2+b^2·n^2＞1 2.若O为

过程、答案（详细）
已知直线l:mx+ny=1与椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)交与P,R两点
1.求证:a^2·m^2+b^2·n^2＞1
2.若O为坐标原点，OP垂直OR，求证（a方+b方）/（a方b方）=m方+n方

Answer 1

1. 证明：∵直线l:mx+ny=1与椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)交于不同两点
联立方程得：mx+ny=1 ①
:x^2/a^2+y^2/b^2=1 ②
化简整理得：（b^2+a^2m^2/n^2）x^2-2a^2m/n^2x+a^2/n^2-a^2b^2=0
由根的判别式△>0得4a^4m^2/n^2-4(b^2+a^2m^2/n^2)(a^2/n^2-a^2b^2)>0
化简得(a^2b^4n^2-a^2b^2+a^4b^2m^2)/n^2>0
因为n^2>0
所以a^2b^4n^2-a^2b^2+a^4b^2m^2>0
即a^2b^4n^2+a^4b^2n^2>a^2b^2
也即a^2m^2+b^2n^2>1
2. 证明：设P(x1,y1),R(x2,y2)
因为OP⊥OR
所以向量OP.向量OR=0
即x1x2+y1y2=0
由韦达定理得 x1+x2=2a^2m/(b^2n^2+a^2m^2)
X1.x2=(a^2-a^2b^2n^2)/(b^2n^2+a^2m^2)
带入mx+ny=1得 y1.y2=(b^2n^2-a^2b^2n^2m^2)/(b^2n^4+a^2m^2n^2)
∴(a^2-a^2b^2n^2)/(b^2n^2+a^2m^2)+ (b^2n^2-a^2b^2n^2m^2)/(b^2n^4+a^2m^2n^2)=0
即(a^2+b^2-a^2b^2n^2-a^2b^2m^2)/(b^2n^2+a^2m^2)=0
也即a^2+b^2=a^2b^2(m^2+n^2)

Answer 2

（1）直线方程与椭圆方程联立得：
（a^2m^2+b^2n^2）x^2－2ma^2x+a^2（1－b^2n^2）＝0，
直线与椭圆有能够交点，所以判别式大于0，整理得
a^2*m^2+b^2*n^2>1。

（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由OP⊥OQ得x1x2+y1y2＝0。
而y1y2＝(1-mx1)/n*(1-mx2)/n，
x1+x2＝2ma^2/((am)^2+(bn)^2)，
x1x2＝(1-(bn)^2)*a^2/((am)^2+(bn)^2)，
代入并整理得：(a^2+b^2)/(a^2*b^2)＝m^2+n^2

Answer 3

asfsd